مثال (3) :

ح .

،   ك

= ك2 ½أ½

½ك أ½

إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة الثانية فأثبت أن

 

البرهان :

ك أ =

ـ

لتكن أ =

(إخراج ك عامل مشترك من ص1)

= ك

=

½ك أ½

ـ

( إخراج ك عامل مشترك من ص2 )

= ك2

وهو المطلوب .

= ك2  ½أ½

ح .

،   ك

= ك ن ½أ½

½ك أ½

بوجه عام : إذا كانت أ مصفوفة مربعة من الرتبة ن فإن

 

  مثال (4) :

= صفر .

استخدم خواص المحددات لإثبات أن:

الحل:

( إضافة عمود إلى آخر لا يغير قيمة المحدد )

=

( إخراج عامل مشترك )

= ( أ + ب + ﺠ )

( تساوي عمودين يجعل قيمة المحدد صفرا ً) .

.

. =

= ( أ + ب + ﺠ )×

الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم

 

الأهداف: عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على التعرف على الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم .

تمهيد:  لقد تعرفت على صور عدة لمعادلة الخط المستقيم مثل معادلة الخط المستقيم الذي ميله معلوم  ويمر بنقطة معلومة  وتأتي على صورة  ص ص1 = م ( س س1) .

= 1

ومعادلة الخط المستقيم إذا علم مقطعه السيني ومقطعه الصادي وتأتي على صورة

ويمكن التعبير عن جميع الصور السابقة لمعادلة الخط المستقيم  بالصورة أ س + ب ص + جـ = صفراً ،

حيث لا يمكن أن تكون أ = ب = صفراً لأنه في هذه الحالة لا يعود هنالك وجود للمعادلة.

 

وتسمى هذه الصورة بالصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم ويمكن حساب ميل المستقيم ومقطعه السيني والصادي من

.

، أي

هذه المعادلة العامة حيث : ميل المستقيم =

لنكتب المعادلة العامة أ س + ب ص + ﺠ = صفر  إذا قسمنا على ب وأعدنا الترتيب نحصل على :

).

، والمقطع الصادي

، والمقطع السيني

(حيث الميل

س

ص=

إذا أعدنا كتابة المعادلة على الشكل أ س + ب ص = جـ، ثم قسمنا طرفيها على جـ نحصل على:

= 1 .............. وبضرب الطرفين في ( 1 ) نحصل على:

= 1.

= 1.

). ، والمقطع الصادي ( حيث المقطع السيني

معادلة المستقيم المار بنقطة معلومة وميله معلوم

 

الأهداف :

 عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطة معلومة وميله معلوم .

تمهيد :

 لقد عرفت إيجاد معادلة خط مستقيم مار بنقطتين معلومتين ، والآن سوف نتعرف على إيجاد معادلة خط مستقيم مار بنقطة معلومة وميله معلوم . 

إذا لاحظت معادلة الخط المستقيم  ص ص₁ = م ( س س₁)

تجد أنها تعتمد على ميل الخط المستقيم وقد كنا وجدنا الميل عن طريق قانون

إذا كان يمر بنقطتين معلومتين لكننا هنا سوف نجد معادلة الخط المستقيم إذا علمنا مقدار ميله وإحداثيات واحدة من النفط الواقعة عليه ، إنه مظهر آخر للعلاقة السابقة فما دام الميل معروفاً فسيكون الوصول إلى معادلة الخط المستقيم أمراً في غاية السهولة .

 

 مثال1:

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 2 ، 4 ) وميله (2) .

الحل :

معادلة الخط المستقيم هي ص ـ ص₁ = م ( س س₁)

ص 4 = 2 ( س 2)

ص 4 = 2س 4

ص = 2 س 4 + 4

ص = 2 س .

معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين معلومتين

 الأهداف :

عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الدرس أن تكون قادراً على إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين  معلومتين.

 تمهيد :

 يمر أي خط مستقيم مرسوم في المستوى الإحداثي بعدد لا حصر له من النقط، ومع ذلك يكفي أن نعلم فقط إحداثيات نقطتين تقعان عليه لنتمكن من رسمه. فعند رسم القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين ومدها على استقامتها من كلا طرفيها ( ليس هناك حدود للامتداد ) نحصل على الخط المستقيم المعني .

 لكل خط مستقيم توجد علاقة تربط بين الإحداثي السيني والإحداثي الصادي للنقط الواقعة عليه وتسمي هذه العلاقة باسم معادلة الخط المستقيم ونكتبها بأبسط صورة  ص = أ س + ب   حيث أ ، ب  عددان حقيقيان نسبيان.  فهل يمكن معرفة معادلة المستقيم إذا علمت نقطتان تقعان عليه ؟حتى تعرف الإجابة عن هذا السؤال ادرس المثال التالي.

مثال1:  

 جد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطة أ ( 1 ، 3 ) والنقطة ب ( 2 ، 5 ) ، ثم جد معادلته .

الحل :

بداية يجب إيجاد ميل المستقيم ، حيث 

= 2

م =

لإيجاد معادلة الخط المستقيم نأخذ أي نقطة تقع على المستقيم ولتكن النقطة ( ب) مع أي نقطة أخرى إحداثياتها

( س ، ص ) يمكن الآن أن نكتب :

= 2

\

ولكن م = 2

م =

ص ـ 5 = 2 ( س 2)  بالضرب التبادلي

ص ـ 5 = 2س 4

ص = 2س 4 + 5

ص = 2س + 1 وهذه معادلة المستقيم .

= 2

لو أخذنا النقطة ( أ ) لما تغيرت المعادلة حيث

ص 3 = 2 ( س 1)   بالضرب التبادلي

ص 3 = 2س 2

ص = 2س + 1 ذات المعادلة التي حصلنا عليها عندما أخذنا النقطة ب .

ص = 2س 2 + 3