:

هي تنظيم مستطيل الشكل لمجموعة من الأعداد (تسمى المدخلات والواحدة منها مدخلة) على هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين.

 

رتبة المصفوفة: إذا تكونت المصفوفة من (م) من الصفوف و (ن) من الأعمدة فإننا نعبر عن رتبتها بالرمز م× ن ( إشارة × مجرد رمز وليس لإجراء عملية الضرب ) ففي مثالنا السابق عن الكليات رتبة المصفوفة هي 3 ×4 ، حيث (3) هو عدد صفوفها و (4) هو عدد أعمدتها.

 

تسمية المصفوفة: يمكن أن نرمز للمصفوفة بأي حرف أبجدي  أ أو ب أو ﺠ ..... إلخ أو نسميها بأي اسم فمصفوفة مثالنا السابق يمكن أن نطلق عليها اسم مصفوفة الكليات .

والصورة العامة للمصفوفة من الرتبة  م × ن  هي كما يلي:   أ =

لاحظ أنه لتميز كل مدخلة عن الأخرى نستخدم رقمين الأول يدل على الصف والثاني يدل على العمود ، فالمدخلة  أ 23 هي مدخلة الصف الثالث والعمود الثاني.

- عدد مدخلات الصف الواحد = عدد أعمدة المصفوفة. فمثلاً مدخلات الصف الأول هي أ 11 ، أ 21 ، أ 31 ، ....أ₁ن

 وتقرأ  أ واحد واحد، أ واحد إثنان ، ............ أ واحد نون .

 

سؤال : -  اكتب مدخلات العمود الأول للمصفوفة  أ  مستخدماً الرموز.

           - ما العلاقة بين عدد مدخلات العمود الأول وعدد الصفوف ؟

           - اكتب بالرموز مدخلات العمود الثاني .

ﻫ  تمثل العمود   ي  تمثل الصف  ،  أ رمز المصفوفة  ،

وبوجه عام سنرمز لأي مدخلة بالرمز أ ي ﻫ :

هي المدخلة  أ 23  أي مدخلة الصف الثالث والعمود الثاني.

2

مثلاً  أ ي ﻫ  حينما  ي = 3 وحينما  ﻫ  =

مثال (1) :             

فما هي رتبة أ ؟ اكتب المدخلتين أ31 ،  أ 22 .

إذا كانت

 

 الحل:

رتبة أ = عدد الصفوف × عدد الأعمدة  = 2×3 .

أ ₃₁  هي مدخلة الصف الأول والعمود الثالث = 1 .

أ ₂₂   هي مدخلة الصف الثاني والعمود الثاني = 4 .

 

 مثال (2) :

اكتب لنظام المعادلات التالي مصفوفة المعاملات للمتغيرين س ، ص  ثم اكتب مصفوفة الثوابت له.

 2س – 3ص= 3

 5س + ص = 11

 

الحل:

، مصفوفة الثوابت هي :

مصفوفة المعاملات هي :

مثال (3) :

اكتب المصفوفة أ من الرتبة 2×3  بحيث  أ ي ﻫ  =

  الحل :

خصائص المحددات : 

لتسهيل حساب قيمة المحدد خاصة إذا كانت المدخلات أعداداً كبيرة ، فإنه يمكن الاستفادة من الخصائص التالية للمحددات والتي يمكن إثباتها باستخدام التعريف مباشرة :

1- إذا كانت مدخلات أي صف كلها أصفاراً فإن قيمة المحدد تساوي صفراً .

= 0

فمثلا

2- عند تبديل الصفوف بالأعمدة والأعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة المحدد لا تتغير .

= 15 .  تحقق من ذلك.

= 15  ،

فمثلا

3- عند تبديل صفين من صفوف المحدد وضعيهما فإن قيمة المحدد الناتج تساوي قيمة المحدد الأصلي مضروباً في

 (-1) أي تتغير إشارة قيمة المحدد الأصلي .

= - 15.    تحقق من ذلك.

= 15

فمثلا

 

  4- إذا كان أحد الصفوف من مضاعفات صف آخر فإن محدد تلك المصفوفة يساوي صفراً .

= صفر  ( لاحظ أن ص3 = 2 ص1 )

فمثلا

5- إذا أضيفت لمدخلات أي صف في محدد مضاعفات نظائرها في صف آخر فإن قيمة المحدد لا تتغير.

= 15 .

= 15  ،

6- إذا وجد عامل مشترك ك في جميع عناصر صف في محدد فإن هذا العامل يمكن اخذه خارج المحدد ويكون المحدد الأصلي  = ك × المحدد الناتج ( بعد أخذ هذا العامل المشترك ) .

( إخراج 6 عامل مشترك من ص2 )

= 6

فمثلا

 

ملاحظة (4) : تبقى جميع هذه الخصائص صحيحة عند استبدال كلمة صف بكلمة عمود حيثما وردت.

 

 

 

  مثال (3) :

ح .

،   ك

= ك2 ½أ½

½ك أ½

إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة الثانية فأثبت أن

 

البرهان :

ك أ =

ـ

لتكن أ =

(إخراج ك عامل مشترك من ص1)

= ك

=

½ك أ½

ـ

( إخراج ك عامل مشترك من ص2 )

= ك2

وهو المطلوب .

= ك2  ½أ½

ح .

،   ك

= ك ن ½أ½

½ك أ½

بوجه عام : إذا كانت أ مصفوفة مربعة من الرتبة ن فإن

 

  مثال (4) :

= صفر .

استخدم خواص المحددات لإثبات أن:

الحل:

( إضافة عمود إلى آخر لا يغير قيمة المحدد )

=

( إخراج عامل مشترك )

= ( أ + ب + ﺠ )

( تساوي عمودين يجعل قيمة المحدد صفرا ً) .

.

. =

= ( أ + ب + ﺠ )×

الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم

 

الأهداف: عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على التعرف على الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم .

تمهيد:  لقد تعرفت على صور عدة لمعادلة الخط المستقيم مثل معادلة الخط المستقيم الذي ميله معلوم  ويمر بنقطة معلومة  وتأتي على صورة  ص ص1 = م ( س س1) .

= 1

ومعادلة الخط المستقيم إذا علم مقطعه السيني ومقطعه الصادي وتأتي على صورة

ويمكن التعبير عن جميع الصور السابقة لمعادلة الخط المستقيم  بالصورة أ س + ب ص + جـ = صفراً ،

حيث لا يمكن أن تكون أ = ب = صفراً لأنه في هذه الحالة لا يعود هنالك وجود للمعادلة.

 

وتسمى هذه الصورة بالصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم ويمكن حساب ميل المستقيم ومقطعه السيني والصادي من

.

، أي

هذه المعادلة العامة حيث : ميل المستقيم =

لنكتب المعادلة العامة أ س + ب ص + ﺠ = صفر  إذا قسمنا على ب وأعدنا الترتيب نحصل على :

).

، والمقطع الصادي

، والمقطع السيني

(حيث الميل

س

ص=

إذا أعدنا كتابة المعادلة على الشكل أ س + ب ص = جـ، ثم قسمنا طرفيها على جـ نحصل على:

= 1 .............. وبضرب الطرفين في ( 1 ) نحصل على:

= 1.

= 1.

). ، والمقطع الصادي ( حيث المقطع السيني

معادلة المستقيم المار بنقطة معلومة وميله معلوم

 

الأهداف :

 عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على إيجاد معادلة مستقيم يمر بنقطة معلومة وميله معلوم .

تمهيد :

 لقد عرفت إيجاد معادلة خط مستقيم مار بنقطتين معلومتين ، والآن سوف نتعرف على إيجاد معادلة خط مستقيم مار بنقطة معلومة وميله معلوم . 

إذا لاحظت معادلة الخط المستقيم  ص ص₁ = م ( س س₁)

تجد أنها تعتمد على ميل الخط المستقيم وقد كنا وجدنا الميل عن طريق قانون

إذا كان يمر بنقطتين معلومتين لكننا هنا سوف نجد معادلة الخط المستقيم إذا علمنا مقدار ميله وإحداثيات واحدة من النفط الواقعة عليه ، إنه مظهر آخر للعلاقة السابقة فما دام الميل معروفاً فسيكون الوصول إلى معادلة الخط المستقيم أمراً في غاية السهولة .

 

 مثال1:

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ( 2 ، 4 ) وميله (2) .

الحل :

معادلة الخط المستقيم هي ص ـ ص₁ = م ( س س₁)

ص 4 = 2 ( س 2)

ص 4 = 2س 4

ص = 2 س 4 + 4

ص = 2 س .